В треугольник вписана окружность радиуса 4 см. найдите длины сторон треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки длиной 4 см и 5 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка касания окружности с одной из сторон треугольника разделяет эту сторону на отрезки длиной $a$ и $b$, где $a = 4$ см и $b = 5$ см.

Так как радиус окружности равен 4 см, а точка касания разделяет сторону треугольника на два отрезка длиной 4 см и 5 см, то получаем, что эти два отрезка являются касательными к окружности и образуют угол прямой.

Пусть $AB$ - сторона треугольника, $C$ - точка касания окружности с этой стороной, тогда $AC = 4$ см и $CB = 5$ см.

Теперь обозначим $r$ - радиус вписанной в треугольник окружности, $s$ - полупериметр треугольника, $a$, $b$ и $c$ - длины сторон треугольника.

По формуле площади треугольника через радиус вписанной окружности имеем:

$$ S = rs = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)s} $$

где $$s = \frac {(a+b+c)}{2}$$

Подставляем известные значения:

$$r \cdot \frac {(4 + 5 + c)}{2} = \sqrt { \left (\frac {(4 + 5 + c)}{2} - 4 \right ) \left (\frac {(4 + 5 + c)}{2} - 5 \right ) \left (\frac {(4 + 5 + c)}{2} - c \right )\frac {(4 + 5 + c)}{2} } $$

$$4 \cdot \frac {(9 + c)}{2} = \sqrt { \left (9 - 4 \right ) \left (9 - 5 \right ) \left (9 - c \right ) 9} $$

$$ 4(9+c) = 9\sqrt{(5)(4)(c)} $$

$$36 + 4c = 9\sqrt{20c}$$

$$16c^{2} - 144c + 1296 = 3600$$

$$16c^{2} - 144c - 2304 = 0$$

$$c^{2} - 9c - 144 = 0$$

$$(c - 12)(c + 3) = 0$$

Таким образом, получаем два возможных значения для стороны треугольника: $c = 12$ см или $c = -3$ см. Очевидно, что сторона не может иметь отрицательную длину, поэтому длина стороны треугольника равна 12 см.

Итак, стороны треугольника равны: $AC = 4$ см, $BC = 5$ см, $AB = 12$ см.