1) Стороны треугольника равны 4, 6 и 8 см. Найдите периметр треугольника, стороны которого являются средними линиями данного. 2) Две средние линии треугольника относятся как 2:3. Найдите стороны треугольника, параллельные этим средним линиям, если сумма этих сторон равно 40см. 3) Медианы треугольника ABC пересекаются в точке О. через точку О проведен отрезок MK, параллельный стороне AC. Найдите отношение периметров треугольника ABC и KBM. 4) На большем основании AD трапеции отмечена точка M так, что AM=MD. Найдите отрезки на которые разделяют среднюю линию трапеции отрезка BM и MC, если основание трапеции равны 8 и 16 см. 5)В трапеции ABCD продолжение боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K, причем точка B – середина отрезка AK. Найдите сумму основания трапеции, если BC=4 cм.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Периметр треугольника с сторонами 4, 6 и 8 см равен 18 см
Для нахождения периметра треугольника со сторонами, являющимися средними линиями данного треугольника, можно воспользоваться формулой P = 3/2 P', где P' - периметр исходного треугольника
Следовательно, периметр равен 3/2 18 = 27 см.

2) Пусть стороны треугольника, параллельные средним линиям, равны x и y см. Тогда сумма этих сторон равна x + y = 40 см
Также из условия известно, что две средние линии относятся как 2:3, что означает x = 2a, y = 3a, где a - коэффициент пропорциональности
Подставляем это в уравнение x + y = 40: 2a + 3a = 40, 5a = 40, a = 8
Таким образом, x = 28 = 16 см, y = 38 = 24 см.

3) Найдем периметры треугольников ABC и KBM. Пусть AB=c, AC=b, BC=a
Тогда по теореме параллелограмма VK=KA и OC=OB. Так как MK||AC, то AN:NC=OM:MK=1:2, AN=b/3, NC=2b/3, BK=BC=а
Так как трапеция ABCD - критерий подобия, AN:NC=AM:MK=AK:KB=b/3:2b/3=c:a=BC:AB
Тогда BC=c/aAB, а=a/cBC=2/3c
Тогда AB+BC+AC=2/3c+2c3/2=11/3c
Тогда периметр треугольника KBM равен 2/311/3c+22/3=2+22/9c.

4) Пусть BM = x, MC = y. Так как AM = MD, то AM = x + (16 - x - y)/2 = 8 - y/2
Также средняя линия трапеции равна (16 + 8)/2 = 12 см
Следовательно, x + y = 12
Тогда решая систему уравнений x + y = 12 и AM = 8 - y/2, найдем x = 10, y = 2
Отрезки BM и MC делят среднюю линию трапеции на отрезки длиной 10 и 2 см.

5) Пусть AB = a, AK = AK = b, BK = CK = c, CD = d. Так как точка B - середина отрезка AK, то AB = BK = b
Также из условия AK||CD, следует что треугольники ABC и DCK подобны
Следовательно, CB/AK = CK/CD, c/b = a/d, откуда c = ab/d
Также из условия, что BC = 4 см, получаем a = 2b
Подставляем это в уравнение c = ab/d и получаем c = 2b*b/d = 2b^2/d
Таким образом, сумма основания трапеции равна a + c = 2b + 2b^2/d.