В параллелограмме MNPQ биссектриса угла M пересекает сторону NP в точке A так, что AN:AP=3:2 Найдите длину меньшей стороны параллелограмма, если его периметр равен 48 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть длина стороны параллелограмма MN равна а, стороны MP и NP равны b и c соответственно (то есть MN = a, MP = b, NP = c, NQ = a).

Так как биссектриса угла M делит сторону NP в отношении 3:2, то NA = 3x, AP = 2x, где x – общий множитель.

Также из условия задачи следует, что MA = 3a/5, и PQ = 2a + 3b (так как противоположные стороны параллелограмма равны по длине).

Тогда периметр параллелограмма равен:

P = a + b + c + a + 2a + 3b = 48 см,
P = 4a + 3b + c = 48.

Поскольку стороны параллелограмма равны по длине, c = a.

Подставляем c = a в уравнение периметра и учитывая выражения для сторон параллелограмма известные нам из условия:

4a + 3b + a = 48,
5a + 3b = 48.

Решаем систему уравнений:

1) 3(5a + 3b) = 3*48,
15a + 9b = 144.

2) 15a + 9b = 144,
5a + 3b = 48.

3) Вычитаем второе уравнение из первого: 15a - 5a + 9b - 3b = 144 - 48,
10a + 6b = 96,
5a + 3b = 48.

4) Выразим одну из переменной из одного из уравнений, например x = 48 - 3b,
10a + 6b = 96,
15a + 9(48 - 3b) = 144,
15a + 9*48 - 27b = 144,
15a + 432 - 27b = 144.

5) 10a - 6a = 96 - 144 + 432 = -48,
x = 48 - 3b,
-4a = -48,
a = 12 см.

Таким образом, длина стороны параллелограмма a равна 12 см.