На продолжении диагонали АС ромба ABCD взята произвольная точка М, которая соединена отрезком с вершиной В. Докажите, что АМ ⋅ СМ = MB^2-AB^2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из свойств ромба ABCD следует, что угол ABC равен 90 градусов.

Обозначим длины сторон ромба: AB = a, BC = b. Так как угол ABC прямой, то треугольник ABC является прямоугольным
Длины диагоналей ромба связаны следующим соотношением: AC = BD = 2a.

Так как AM является продолжением диагонали AC ромба, то AM = AC + CM = 2a + CM
Также, так как BM является продолжением стороны BC ромба, то BM = BC = b.

По теореме Пифагора для треугольника ABC: AB^2 + BC^2 = AC^
a^2 + b^2 = (2a)^
a^2 + b^2 = 4a^
b^2 = 3a^2

Таким образом
AM ⋅ CM = (2a + CM) ⋅ CM = 2aCM + CM^
MB^2 - AB^2 = b^2 - a^2 = 3a^2 - a^2 = 2a^2

Умножим обе части на 2: 2AM ⋅ CM = 4aCM + 2CM^
Так как 2aCM = 4aCM + 2CM^2, то 2aCM - 4aCM = 2CM^
Следовательно, 2AM ⋅ CM = MB^2 - AB^2.