Расстояние от точки А до центра окружности меньше радиуса окружности. Докажите, что любая прямая, проходящая через точку А является секущей по отношению к данной окружности.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим точку центра окружности как O, радиус как r, а точку пересечения прямой с окружностью как B.

Из условия задачи известно, что расстояние от точки А до центра окружности O меньше радиуса окружности, то есть |OA| < r.

Предположим, что прямая AB не является секущей окружности, то есть она касается окружности в точке B.

Так как прямая AB касается окружности в точке B, то отрезок AB будет перпендикулярен радиусу окружности, проведенному в точке касания. Пусть точка касания обозначается как C.

Так как AC – это радиус окружности, он равен r (по определению радиуса).

Также из условия задачи известно, что |OA| < r. Следовательно, точка A находится внутри окружности.

Теперь рассмотрим треугольник OAC. По неравенству треугольника, сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Так как |OA| + |AC| > |OC|, то есть r + r > OC, то |OC| < 2r.

Таким образом, мы имеем, что |OC| < 2r, что противоречит тому, что прямая AB касается окружности в точке C.

Следовательно, предположение о том, что прямая AB является касательной, неверно. Прямая AB является секущей окружности.

Таким образом, мы доказали, что любая прямая, проходящая через точку А и непересекающаяся с окружностью, является секущей окружности.