В треугольнике АВС угол А равен 90 градусам, угол С равен 15 градусам . На стороне АС отмечана точка Д так , что угол ДВС равен 15 градусам. Докажите, что ВС меньше 4АВ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольники АВС и ВДС подобны по двум углам, так как углы А и С равны углам В и ВДС (так как сумма углов треугольника равна 180 градусов) и угол С равен углу ДСВ.
Таким образом, мы можем записать следующее отношение сторон треугольников:
AB/BD = AC/DC (по определению подобных треугольников)
Так как угол А равен 90 градусам, то стороны AC и AB являются катетами прямоугольного треугольника, а значит AC = BC = AB/cos(15), а DC = AB/sin(15)
Подставляем это в выражение выше:
AB/BD = AB/cos(15)/(AB/sin(15)) = sin(15)/cos(15) = tg(15)
Таким образом, BD = AB/tg(15)
Нам нужно доказать, что ВС < 4AB, то есть АВ + ВС < 4AB
Но, по теореме синусов:
AC/sin(15) = BC/sin(75) => BC = ACsin(75)/sin(15)
Итак, ВС = BDtg(15) = AB/sin(15)tg(15) = ABcos(15) = ABsin(75).
Таким образом, AB + BC = AB + (ACsin(75))/sin(15) = AB + AB*sin(75) = AB(1 + sin(75)) < AB(1 + 1) = 2AB
Получили, что АВ + ВС < 2AB + AB = 3AB, а не 4AB.
Таким образом, теорема, что ВС < 4AB, не верна.