В равнобокую трапецию вписано окружность, радиус которой равен 5 см. Расстояние между точками касания,которые принадлежат боковым сторонам трапеции=8 см. Найти площадь трапеции
Пусть основания трапеции равны a и b, боковая сторона равна 8 см.
Так как вписанная окружность касается обеих параллельных сторон трапеции, то расстояние между ее точками касания равно сумме диаметров окружности, то есть 2*r = 10 см.
Также из свойства вписанного угла из точки касания радиуса и стороны, следует что расстояние от вершины трапеции до точки касания равно половине суммы оснований, то есть (a+b)/2.
Следовательно (a + b)/2 = 8 + 10 = 18
Из этого уравнения находим, что a + b = 36
Площадь трапеции можно найти как произведение средней линии трапеции (18) на высоту трапеции.
Так как высота t образует два треугольника, равные по размеру треугольнику, образованному средней линией трапеции, то
t^2 = r^2 + ((a-b)/2)^2
т.к. диагонали трапеции равны√((a-b)^2 + 18^2) =>
t^2 = 25 +((a-b)^2) / 4
((a-b)^2) = (4*t^2 - 100)
[a+b)^2 = 36^2 =>
((4*t^2 - 100)/4) = 36 => t = 9 значит высота h = 9, т.е. средняя линия трапеции
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: S = 9 * 18 = 162.
Пусть основания трапеции равны a и b, боковая сторона равна 8 см.
Так как вписанная окружность касается обеих параллельных сторон трапеции, то расстояние между ее точками касания равно сумме диаметров окружности, то есть 2*r = 10 см.
Также из свойства вписанного угла из точки касания радиуса и стороны, следует что расстояние от вершины трапеции до точки касания равно половине суммы оснований, то есть (a+b)/2.
Следовательно (a + b)/2 = 8 + 10 = 18
Из этого уравнения находим, что a + b = 36
Площадь трапеции можно найти как произведение средней линии трапеции (18) на высоту трапеции.
Так как высота t образует два треугольника, равные по размеру треугольнику, образованному средней линией трапеции, то
t^2 = r^2 + ((a-b)/2)^2
т.к. диагонали трапеции равны√((a-b)^2 + 18^2) =>
t^2 = 25 +((a-b)^2) / 4
((a-b)^2) = (4*t^2 - 100)
[a+b)^2 = 36^2 =>
((4*t^2 - 100)/4) = 36 => t = 9
значит высота h = 9, т.е. средняя линия трапеции
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту: S = 9 * 18 = 162.
Ответ: S = 162 см^2.