Отрезок CD концы которого лежат на разных окружностях оснований цилиндра,пересекает ось цилиндра под углом 60 градусов. Найдите объём цилиндра,если длина отрезка CD равна 8 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус основания цилиндра равен $r$, а расстояние от центра основания до оси цилиндра равно $h$. Тогда, согласно условию, у нас получается два равнобедренных треугольника с углом 60 градусов при вершине.

Обозначим точку пересечения отрезка CD с осью цилиндра за точку O. Так как треугольник COD равнобедренный и угол COD равен 60 градусов, то инсценированные учёные измерили угол CAD равный 30 градусов. Данная стратегия позволяет использовать правило синусов:

$CD = 2r\sin 30^\circ$
$8 = 2r \cdot \frac{1}{2}$
$r = 4$

Объём цилиндра можно посчитать по формуле $V = \pi r^2 h$. Таким образом, $V = \pi \cdot 4^2 \cdot h = 16\pi h$.

Теперь остаётся выразить высоту $h$. Рассмотрим треугольник ACO.

АО = $r\cos 30^\circ = 4\cos 30^\circ = 4\frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

$AC = 4$ (поскольку это радиус окружности).

Таким образом, $h = 2\sqrt{3} + 4$.

Подставляем найденное значение для h в формулу для объема цилиндра и получаем ответ:

$V = 16\pi(2\sqrt{3} + 4) = 32\sqrt{3}\pi + 64\pi$.

Итак, объём цилиндра равен $32\sqrt{3}\pi + 64\pi$ кубических сантиметров.