На продолжении медианы Бд треугольника АБС отложили равный медиане отрезок ДЕ. На продолжении медианы АФ отложили равный ей отрезок ФХ. Докадите, что точки Б,Х,Е лежат на одной прямой

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения рассмотрим два треугольника: △АБС и △ФХД.

Поскольку медиана дробит каждую сторону треугольника на две равные части, то точка Е – середина стороны AC, а точка Х – середина стороны ФД.

Таким образом, отрезок EH равен отрезку XK и параллелен ему, так как точка Е – середина стороны AC, а точка Х – середина стороны ФД.

Из двух треугольников △ЕАФ и △КХФ видим, что у них соответствующие стороны равны (ЕА = ФХ и FА = ХФ), а сторона ЕА равна стороне ФХ и параллельна ХФ, следовательно, эти треугольники подобны.

Из подобия треугольников следует, что угол АФХ равен углу ФЕН (поскольку это противоположные углы при параллельных прямых), а также угол АФЕ равен углу ХФН (поскольку это вертикальные углы).

Таким образом, точки Б, Х, Е лежат на одной прямой, так как сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а углы при основании равнобедренного треугольника равны.