Основанием прямой призмы ABCDA1B1C1D1 является квадрат ABCD с длиной стороны 4 корень из 5. Высота призмы равна 4 корень из 15 Найдите косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью AMD1, где точка М— середина ребра CD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем координаты точек A, B, C, D, D1, A1, B1, C1 и M.

Так как сторона квадрата ABCD равна 4√5, то координаты точек A, B, C и D равны:
A(2√5, 2√5, 0), B(-2√5, 2√5, 0), C(-2√5, -2√5, 0), D(2√5, -2√5, 0).

Точка M — середина ребра CD и ее координаты равны:
M(0, 0, 0).

Так как высота призмы равна 4√15, то координаты точек A1, B1, C1 и D1 равны:
A1(2√5, 2√5, 4√15), B1(-2√5, 2√5, 4√15), C1(-2√5, -2√5, 4√15), D1(2√5, -2√5, 4√15).

Теперь найдем векторы , и , где и .

Векторы и равны:
= B - A = (-4√5, 0, 0),
= A - M = (2√5, 2√5, 0).

Найдем векторное произведение векторов и :
= × = (0, 0, 4√15).

Так как нам нужно найти косинус угла между полученным вектором и плоскостью AMD1, то найдем косинус угла между этими векторами:

cos(α) = ( , ) / ( || || || ||) = (0, 0, 4√15) (2√5, 2√5, 0) / (4√5 2√5) = 0 / (4√5 2√5) = 0.

Таким образом, косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью AMD1 равен 0.