Через точку М вне окружности проведены касательные МА и МВ, и через точку С на окружности проведена касательная, пересекающая отрезки МА и МВ в точках K и L. Докажите, что периметр треугольника KML не зависит от положения точки С. ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть O - центр окружности, Mакратная. Тогда, по свойству касательных, угол MOA = 90 градусов, угол MOB = 90 градусов. Так как угол внутри полуокружности равен 90 градусов, а также угол при основании равнобедренной трапеции равен углу сверху, следовательно, треугольники AOC и BOC равны и равны треугольнику MOA = MOB.

Из равенства треугольников: AC = BC, AK = BK, угол CАK = КВС. В треугольниках CKL и MKL: угол К = угол K = 90 градусов, КL общая сторона и желаемое KL. Таким образом, по теореме Пифагора мы имеем:

KL² = KC² + LC² = AC² + BC² = (AC² + AK²) + (BC² + BK²) = AK² + KL² = BK² + KL².

Таким образом, периметр треугольника KML равен:

KL + LK + 2KL = 2KL + 2KL = 4KL.

Следовательно, периметр треугольника KML не зависит от положения точки C.