Одна окружность описана около равностороннего треугольника,а другая вписана в него.Докажите,что центры окружностей совпадают?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства того, что центры окружностей совпадают, рассмотрим равносторонний треугольник ABC, вписанную в него окружность O1 и описанную вокруг него окружность O2.

Поскольку треугольник ABC равносторонний, то центр описанной окружности O2 совпадает с центром равностороннего треугольника, то есть точкой пересечения медиан этого треугольника. Пусть точка пересечения медиан треугольника ABC обозначается как центр О2 и центр вписанной окружности O1 обозначается как центр I.

Так как медианы равностороннего треугольника пересекаются в точке, делящей их в отношении 2:1 от вершины треугольника, то центр О2 также делит медианы треугольника в этом же отношении. Следовательно, отрезок, соединяющий центр описанной окружности О2 с центром I вписанной окружности О1, делит медиану в соотношении 2:1.

Таким образом, центр описанной окружности О2 совпадает с центром вписанной окружности О1, что и требовалось доказать.