Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 8 корней из2 .найти высоту пирамиды

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения высоты пирамиды воспользуемся теоремой Пифагора. Рассмотрим боковое ребро пирамиды, которое является боковой стороной правильного треугольника.

Пусть a - высота пирамиды, h - высота боковой грани, s - боковое ребро пирамиды.

Треугольник, образованный высотой пирамиды, боковой гранью и половиной бокового ребра, является прямоугольным. Поэтому справедливо равенство:

a^2 = h^2 + (s/2)^2

Так как все ребра пирамиды равны 8 корням из 2, то s = 8√2. Подставим это значение в уравнение:

a^2 = h^2 + (8√2/2)^
a^2 = h^2 + 16

Также из условия задачи мы знаем, что все грани пирамиды равны правильным четырехугольникам, поэтому боковой треугольник является равнобедренным. Значит, h - это катет прямоугольного треугольника.

Поскольку стороны правильного четырехугольника равны между собой, каждый угол равен 90 градусов, а значит треугольник h, s и основанием является равнобедренным. Значит, треугольник h, s и a является равнобедренным, а значит h = a = 8√2.

Подставляем значение h в уравнение:

(8√2)^2 = a^2 = h^2 + 1
64 2 = 2 h^2 + 1
128 = 2h^2 + 1
2h^2 = 11
h^2 = 5
h = 4√14

Таким образом, высота пирамиды равна 4√14.