Центр окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит медиану, проведенную к основанию, на отрезки 12 и 20. Найдите периметр треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан равнобедренный треугольник с основанием $BC$, высотой $AH$, медианой $AM$ и радиусом вписанной в него окружности $\displaystyle r$. Пусть центр окружности $I$, касающейся сторон $AB, BC, CA$ в точках $D, E, F$ соответственно. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $AM\perp BC, \angle AMB = 90^{\circ}$, следовательно в $\triangle AMB$ $\displaystyle AM$ – медиана, $\displaystyle BI$ – биссектриса, так как $\displaystyle BI\perp AM$, то $\displaystyle BI$ проходит через центр окружности. Проведем высоту $\displaystyle IP$, где $\displaystyle P$ – точка касания окружности с медианой. Точка $\displaystyle P$ – точка деления медианы на отрезки $\displaystyle PM = 12, \, PA = 20$
$\displaystyle \angle BAF = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - \angle B = \angle C$. Построим касательную к описанной окружности, проведенную в точке $\displaystyle A$. Проведем $\displaystyle MX||AC$, где $\displaystyle X$ – проекция точки $\displaystyle I$ на сторону $\displaystyle AC$.

\begin{figure}[h!
\center{\includegraphics[scale=1]{perimeter_incenter_excircle}
\caption{Периметр треугольника с вписанной и вневписанной окружностями
\label{ris:image
\end{figure}

Треугольник $\triangle BPI$ подобен треугольнику $\triangle BAF$, так как $\displaystyle \angle BAF = \angle BPI = 90^{\circ} - \angle C, \angle BAP = \angle BCP = \angle CPA, \angle BPI = \angle BCP = \angle PBC, \Rightarrow
\begin{displaymath
\frac{PI}{BI} = \frac{PA}{BA} = \frac{BC + AC - AB}{AB} = \frac{BC + AC - 2AM}{2AM} = \frac{BC + AC - 2\sqrt{AC^2 - \frac{BC^2}{4}}}{2\sqrt{AC^2 - \frac{BC^2}{4}}}
\end{displaymath
Так как треугольник равнобедренный, то $\displaystyle AS = SC = \frac{b}{2}, \, AM = m = \sqrt{AS^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}, \, \text{где} \, a,b,c \text{– стороны треугольника}$. Имее
\begin{equation
PI = \frac{BC + AC - 2m}{2m} = \frac{b^{2} - m - 2m}{2m} = \frac{b^{2} - 3m}{2m} = \frac{b^{2} - 3\sqrt{\frac{b^{2}}{4}-m^{2}}}{2\sqrt{\frac{b^{2}}{4}-m^{2}}}. \quad (1
\end{equation
Разделим обе части уравнени
$PA = 2AM = 40$ на боковые стороны треугольника $AB = AC = c$, получи
$\frac{a^{2}}{b} - 3\sqrt{\frac{a^{2}}{4} - m^{2}}\displaystyle = \frac{b^{2}}{2a}$
Возводим обе части ур-я в квадра
$\left(\frac{a^{2}}{b}-3\sqrt{\frac{a^{2}}{4} - m^{2}}\right)^{2} = \left(\frac{b^2}{2a}\right)^2
$\frac{a^{4}}{b^{2}} - 6a^{2}\left(1-\frac{4m^{2}}{a^{2}}\right) + 9\left(\frac{a^{2}}{4}-m^{2}\right) = \frac{b^4}{4a^2}
$\frac{a^{4}}{b^{2}} - 6a^{2} + 6a^{2}\frac{4m^{2}}{a^{2}} + 9a^{2}-36m^{2} = \frac{b^{4}}{4a^{2}}
$\frac{a^{4}}{b^{2}} - 6a^{2} + 24m^{2} + 9a^{2}-36m^{2} = \frac{b^{4}}{4a^{2}}
$\frac{a^{4}}{b^{2}} - 6a^{2} + 9a^{2} - 36m^{2} + 24m^{2} = \frac{b^{4}}{4a^{2}}$
$25m^{2} = \frac{a^{4}}{b^{2}}\displaystyle - \frac{7a^{2}}{4} + \frac{9b^4}{4a^2}$

То же самое имеем в треугольнике $\triangle CPM$
$\displaystyle \frac{20^{2}}{12^{2}} = \frac{PC^{2}}{MC^{2}} = \frac{MA^{2} + MB^{2} - 2MB \cdot MA\displaystyle \cos \left(\angle MBP\right)}{AC^{2}}$
$\displaystyle \frac{100}{36} = \frac{4m^{2} + 4m^{2} + 2m\cdot 2m}{c^{2}}$
$\displaystyle \frac{100}{36} = \frac{8m^{2} + 2m^{2}}{c^{2}}$
$25m^{2} = \frac{2c^{2}}{9} - 10m^{2}$
$25m^{2} = \frac{2c^{2}}{9} - 10m^{2}$
Равенство двух полученых уравнений позволило найти $c$
$25m^{2} = \frac{a^{4}}{b^{2}} -\frac{7a^{2}}{4} +\frac{9b^{4}}{4a^{2}}$
$25m^{2} = \frac{2c^{2}}{9} -10m^{2}$
\begin{equation
\frac{2c^{2}}{9} -10m^{2} = \frac{a^{4}}{b^{2}} -\frac{7a^{2}}{4} +\frac{9b^{4}}{4a^{2}} \Rightarrow c^{2} = \frac{9}{2}m^{2} -10m^{2} \Rightarrow c = m\sqrt{\frac{8}{9}}
\end{equation
Теперь, зная стороны $\displaystyle a,b$ и $\displaystyle c$, можем найти периметр треугольника: $\displaystyle P = a + b + c = m + m\sqrt{\frac{8}{9}} + m\Rightarrow P = (2+\sqrt{8/9}) \cdot 12 = 2(2+\sqrt{8/9})\cdot 12 = 48$.

Ответ: $\displaystyle P = 48$.