Доказать если центры вписанной и описанной окружности лежат на медиане треугольника,то этот треугол. рабвнобед.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть дан треугольник ABC, вписанная окружность которого касается сторон AC, AB и BC в точках D, E и F соответственно, а описанная окружность проходит через вершины A, B и C. Пусть точка M - это точка пересечения медиан треугольника ABC.

Так как точка D - центр вписанной окружности треугольника ABC, то AD будет являться биссектрисой угла BAC. Аналогично, BF и CE будут являться биссектрисами углов ABC и ACB соответственно.

Таким образом, точка M является центром пересечения биссектрис треугольника ABC, то есть точкой пересечения инцентра и описанной окружности треугольника.

Известно, что центр описанной окружности треугольника лежит на середине дуги BC, не содержащей точку A. Таким образом, точка M, как центр пересечения описанной окружности и медианы треугольника, лежит на отрезке EF - средней линии треугольника DEF.

Следовательно, точка M является серединой отрезка EF в треугольнике DEF. Так как медиана треугольника проходит через его вершину и середину противоположной стороны, то треугольник DEF является равнобедренным.

Таким образом, если центры вписанной и описанной окружностей треугольника лежат на его медиане, то этот треугольник является равнобедренным.