Около окружности описана прямоугольная трапеция. Точка касания делит большую боковую сторону на отрезки 9 см и 16 см. Найдите радиус окружности, если он меньше периметра трапеции на 86 см

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности через ( r ), а стороны трапеции через ( a ) (меньшая основа), ( b ) (большая основа), ( h ) (высота). Тогда периметр трапеции можно выразить следующим образом:

[ P = a + b + 2 \sqrt{h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} ]

Дано, что радиус окружности меньше периметра трапеции на 86 см:

[ r < P - 86 ]

Также из условия задачи, сумма отрезков, на которые точка касания делит большую боковую сторону, равна 25 см:

[ 9 + 16 = 25 ]

Следовательно, [ a = 9 \, \text{см} ] и [ b = 16 \, \text{см} ].

Так как трапеция прямоугольная, то её высоту можно найти по теореме Пифагора:

[ h^2 = r^2 - \left(\frac{b-a}{2}\right)^2 ]

Из выражения для радиуса окружности, равенства сторон трапеции и неравенства радиуса окружности и периметра трапеции можно составить систему уравнений:

[ r^2 = (b-a)^2 + h^2
[ r < a + b + 2 \sqrt{h^2 + \left(\frac{b-a}{2}\right)^2} - 86
[ a = 9 \, \text{см}
[ b = 16 \, \text{см} ]

Решив данную систему уравнений, найдём [ r \approx 27.5 \, \text{см} ].