В прямоугольном треугольнике АВС угол С –прямой, ВС=9. Медианы треугольника пересекаются в точке О, ОВ= 10. Найдите площадь треугольника АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь треугольника можно найти двумя способами: через биссектрису и прилежащие стороны или через медианы.

Для начала построим высоту из вершины С на гипотенузу АВ. Обозначим точку пересечения высоты с гипотенузой как D. Тогда площадь треугольника АВС можно найти как S = (AB * CD) / 2.

Так как треугольник АВС - прямоугольный, то мы имеем два подобных треугольника: СOD и СВА. Поэтому CD / AB = CO / BV.

Из подобия треугольников получаем
CD / AB = CO / BV
CD / 9 = (10 - CO) / 9
CD = 10 - CO.

Заменяем CD в формуле площади треугольника
S = (9 (10 - CO)) / 2 = 45 - (9 CO) / 2.

Заметим, что точка О - центр тяжести треугольника, поэтому медианы делятся в отношении 2:1. То есть CO = 2 OV = 2 10 = 20. Подставляем CO = 20 в формулу площади треугольника
S = 45 - (9 * 20) / 2 = 45 - 90 / 2 = 45 - 45 = 0.

Ответ: площадь треугольника АВС равна 0.