Около остроугольного треугольника АВС описана окружность. Точка персечения О серединных перпендикуляров удалена от прямой АВ на 6см. Найдите угол ОВА и радиус окружности, если угол АОС=90 градусов,угол ОВС=15 градусов

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала нарисуем заданный треугольник ABC и построим описанную окружность:

Теперь обозначим точки, где серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекают окружность:

Пусть M, N и P - середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. О - точка пересечения серединных перпендикуляров.

Так как О - середина отрезка MV, то ВМ = 2ОМ. Но ВМ = VО + ОМ = R + 6 (где R - радиус окружности, VО = R и ОМ = 6). Таким образом, 2ОМ = 2*6 = 12, откуда R + 6 = 12, R = 6.

Теперь найдем угол ОВА. Обратим внимание, что треугольник ОВС равнобедренный, т.к. ОВ = ОС (они равны радиусу окружности). Следовательно, угол ОВС = угол ВОС = 15 градусов. Но угол ВОС = 180 - угол ВАС, а угол ВАС есть внешний угол треугольника АВС, равный сумме двух внутренних углов. Так как угол АОС = 90 градусов, то угол ВАС = 180 - 90 = 90 градусов, и угол ОВА = 180 - 90 - 15 = 75 градусов.

Итак, угол ОВА = 75 градусов, а радиус окружности равен 6 см.