Точка N лежит на стороне AC треугольника ABC, причем AN:NC = 2:3 . Отрезок BN пересекает медиану AM в точке О так, что ВО = 7. Найдите длину отрезка BN.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка M делит сторону BC в отношении p:q, тогда точка N делит сторону AC в отношении 2p:3q.

Так как точка O лежит на медиане AM, то AN:NM = 1:1, следовательно пусть AN = x, также BM = 3x.

Так как N лежит на AC в отношении 2p:3q, получаем NC = 3x * 3q / (2p + 3q) = 9xq / (2p + 3q) и AM = 2x + q.

Теперь применяем теорему Менелая к треугольнику ABC и точке N
BN / NO OM / MA AN / CB = 1

Отсюда получаем
3x / (3x + 7) 7 / (2x + q) x / 2q = 1

Решаем уравнение относительно x, зная что BM = 3x
3x = 21(2x + q) / (3x + 7) -> x = 4

Так как BM = 3x, находим что BN = 12.

Итак, длина отрезка BN равна 12.