Исследуйте функцию на промежутки возрастания и убывания. Найдите длину промежутка возрастания функции. Исследуйте функцию на промежутки возрастания и убывания. Найдите длину промежутка возрастания функции.
F(x) = -2x^3+3x^2+12x-8

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем производную функции F(x):
F'(x) = -6x^2 + 6x + 12.

Теперь найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю и решив полученное уравнение:
-6x^2 + 6x + 12 = 0
Делим обе части на -6:
x^2 - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x1 = 2, x2 = -1.

Проведем знаковые исследования в окрестностях найденных точек экстремума:

Для x < -1: выбираем x = -2 (меньше -1), подставляем в F'(x):
F'(-2) = -6(-2)^2 + 6(-2) + 12 = -24 < 0.
Значит, функция убывает на интервале (-∞, -1).

Для -1 < x < 2: выбираем x = 0 (между -1 и 2), подставляем в F'(x):
F'(0) = -6(0)^2 + 6(0) + 12 = 12 > 0.
Значит, функция возрастает на интервале (-1, 2).

Для x > 2: выбираем x = 3 (больше 2), подставляем в F'(x):
F'(3) = -6(3)^2 + 6(3) + 12 = -18 < 0.
Значит, функция убывает на интервале (2, +∞).

Итак, функция возрастает на интервале (-1, 2), убывает на интервалах (-∞, -1) и (2, +∞). Для определения длины промежутка возрастания найдем разность значений на концах интервала:

F(2) - F(-1) = (-2(2)^3 + 3(2)^2 + 122 - 8) - (-2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) - 8) = (-16 + 12 + 24 - 8) - (2 + 3 - 12 - 8) = 12 - (-15) = 27.

Таким образом, длина промежутка возрастания функции F(x) равна 27.