Применение определенных интегралов Вычислите площади фигур, ограниченных заданными линиями. Сделать чертеж.
y = x² + 6x + 7, y = -x + 1
в подробностях, пожааалуйста :)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо сначала найти точки их пересечения.

Для этого приравняем уравнения y = x² + 6x + 7 и y = -x + 1:
x² + 6x + 7 = -x + 1
x² + 7x + 6 = 0

Теперь найдем корни квадратного уравнения:
D = 7² - 416 = 49 - 24 = 25
x₁ = (-7 + √25) / 2 = (-7 + 5) / 2 = -1
x₂ = (-7 - √25) / 2 = (-7 - 5) / 2 = -6

Таким образом, точки пересечения линий находятся при x = -1 и x = -6.
Подставим их обратно в уравнение y = x² + 6x + 7 для определения соответствующих значений y:
При x = -1, y = (-1)² + 6(-1) + 7 = 1 - 6 + 7 = 2
При x = -6, y = (-6)² + -66 + 7 = 36 - 36 + 7 = 7

Таким образом, точки пересечения линий находятся в точках (-1, 2) и (-6, 7).

Чтобы найти площадь фигуры между этими двумя кривыми и осью X, можно посчитать определенный интеграл функции f(x) = x² + 6x + 7 от x = -6 до x = -1 и вычесть из этого значения определенный интеграл функции g(x) = -x + 1 от x = -6 до x = -1.

S = ∫[-6,-1] (x² + 6x + 7)dx - ∫[-6,-1] (-x + 1)dx
S = [x³/3 + 3x² + 7x] [-6,-1] - [-x²/2 + x] [-6,-1]
S = [(1/3-18+42) - (-1/3 + 3 + 7)] - [(1/2 - 1) - (18/2 - 6)]
S = [(25 - 18 + 42) - (-1/3 + 10)] - [ (-1/2 - 1) - 9 ]
S = [(49) - (-1/3 + 10)] - [ (-3/2 - 1) - 9 ]
S = 49 + 1/3 - 10 + 1/2 + 1 - 9
S = 49 - 10 + 1 - 9 + 1
S = 40

Итак, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y = x² + 6x + 7 и y = -x + 1 равна 40 квадратным единицам.