ЗАДАЧА ПО ГЕОМЕТРИИ В правильной треугольной пирамиде радиус окружности, описанной около основания, равен 4, а высота пирамиды 2√3 . Найдите угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Варианты ответа (a. 30º b. 60º c. 45º d. 90º)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основание правильной треугольной пирамиды является равносторонним треугольником со стороной ( a ). Тогда радиус описанной окружности равен радиусу вписанной окружности правильного треугольника и равен ( \frac{a}{2\sqrt{3}} ).

По теореме Пифагора для боковой грани пирамиды:
[
r^2 + (h - r)^2 = a^2,
]
где ( r ) - радиус описанной окружности, ( h ) - высота пирамиды.
Подставляем данные:
[
\left(\frac{a}{2\sqrt{3}}\right)^2 + (2\sqrt{3} - \frac{a}{2\sqrt{3}})^2 = a^2.
]
Решив это уравнение, получим ( a = 4\sqrt{3} ).

Теперь находим угол между боковой гранью и плоскостью основания. Этот угол определяется как угол между основанием и высотой пирамиды, т.е. между стороной основания и боковой гранью. В правильном треугольнике этот угол равен 60 градусов (вариант b). Таким образом, правильный ответ - b. 60º.