Нужно решить задачу Сумма боковых сторон AB и CD трапеции равна b, а сумма ее оснований равна a. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, а биссектрисы углов C и D пересекаются в точке T. Найдите MT.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину боковых сторон трапеции как x и y, где x+y=b. Обозначим длины оснований трапеции как p и q, где p+q=a.

Так как AM является биссектрисой угла A, то BM тоже является биссектрисой угла B. Таким образом, AM=BM=x/2.

Аналогично, CT=DT=y/2.

Из условия задачи имеем, что AM+MB=AT+TD, откуда x=b/2.

Аналогично, из условия задачи получаем, что CM+MD=CT+TD, откуда y=a/2.

Теперь обратим внимание на треугольник MTD. В нем MT является биссектрисой угла T, а значит MT делит сторону TD в отношении пропорциональном смежным сторонам MT и MD. Таким образом, MT/MD=AT/TD.

Из подобия треугольников AMT и ADT имеем, что AT/AM=TD/MD, откуда MT/MD=AT/TD. Получаем уравнение MT/MD=y/(a-y), где a-y=x.

Отсюда получаем, что MT/MD=b/a-b.