Задание по геометрии (1 курс) Нужно составить параметрическое уравнение плоскости, если даны точки плоскости M1(3;0;-1), M2(1;0;-2), M3(5;1;3). А также составить уравнение параллельной плоскости, проходящей через точку M0(4;1;0) и найти расстояние между параллельными плоскостями.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем векторы, лежащие в плоскости, используя точки M1, M2 и M3:

Вектор M1M2 = M2 - M1 = (1 - 3; 0 - 0; -2 + 1) = (-2; 0; -1)
Вектор M1M3 = M3 - M1 = (5 - 3; 1 - 0; 3 + 1) = (2; 1; 4)

Теперь найдем векторное произведение этих векторов, чтобы получить нормаль к плоскости:

n = M1M2 x M1M3 = (-2; 0; -1) x (2; 1; 4) = (-4; -6; 2)

Теперь у нас есть нормаль к плоскости, можем составить параметрическое уравнение плоскости:

-4x - 6y + 2z + d = 0

Чтобы найти d, подставим координаты точки M1(3;0;-1):

-43 - 60 + 2*(-1) + d = 0
-12 - 2 + d = 0
d = 14

Итак, уравнение плоскости:

-4x - 6y + 2z + 14 = 0

Теперь составим уравнение плоскости, параллельной данной и проходящей через точку M0(4;1;0). Так как плоскости параллельны, их нормали будут равны, поэтому уравнение новой плоскости будет:

-4x - 6y + 2z + d' = 0

Чтобы найти d', подставим координаты точки M0(4;1;0):

-44 - 61 + 2*0 + d' = 0
-16 - 6 + d' = 0
d' = 22

Итак, уравнение плоскости, параллельной данной и проходящей через точку M0(4;1;0):

-4x - 6y + 2z + 22 = 0

Расстояние между параллельными плоскостями можно найти по формуле:

d = |d' - d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) = |22 - 14| / sqrt((-4)^2 + (-6)^2 + 2^2) = 8 / sqrt(56) = 2 * sqrt(14)