Исследование функции и построение графиков, высшая математика Исследовать функцию и построить её график (e^x)/x+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала проведем анализ функции (e^x)/(x+1):

Найдем область определения функции. Функция определена для всех значений x, за исключением x=-1 (так как в знаменателе присутствует (x+1)).

Найдем пределы функции при x -> -1 и x -> ±∞.

lim(x -> -1) (e^x)/(x+1) = e^(-1)/0, что является неопределенностью типа 0/0.lim(x -> ±∞) (e^x)/(x+1) = 0, так как экспоненциальная функция растет быстрее линейной.

Найдем производную функции. Для этого преобразуем исходную функцию:
y = (e^x)/(x+1)
ln(y) = ln(e^x) - ln(x+1)
ln(y) = x - ln(x+1)
(1/y) y' = 1 - 1/(x+1)
y' = ((x+1) - 1)/((x+1)(x+1))
y' = 1/(x+1)^2

Найдем вторую производную функции:
y'' = -2/(x+1)^3

Исследуем функцию на возрастание и убывание:
После нахождения производной видим, что функция возрастает на всей промежности определения функции, за исключением x=-1.

Построим график функции с учетом полученных результатов.

График функции будет стремиться к 0 на бесконечности, а также иметь асимптоту при x=-1.

Таким образом, мы провели исследование функции (e^x)/(x+1) и построили ее график.