У числа N^2 ровно 99 натуральных делителей. Сколько натуральных делителей может быть у числа N? У числа N^2 ровно 99 натуральных делителей. Сколько натуральных делителей может быть у числа N?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть ( N^2 = p{1}^{a{1}} \cdot p{2}^{a{2}} \cdot \ldots \cdot p{n}^{a{n}} ) - разложение на простые множители. Тогда количество делителей числа ( N^2 ) равно ( (a{1} + 1) \cdot (a{2} + 1) \cdot \ldots \cdot (a_{n} + 1) = 99 ).

Так как ( N = p{1}^{\frac{a{1}}{2}} \cdot p{2}^{\frac{a{2}}{2}} \cdot \ldots \cdot p{n}^{\frac{a{n}}{2}} ), то количество делителей числа ( N ) равно ( \frac{a{1}}{2} + 1) \cdot (\frac{a{2}}{2} + 1) \cdot \ldots \cdot (\frac{a_{n}}{2} + 1) ).

Таким образом, находя общие делители в ( N ) и ( N^2 ), получим ( 50 ) делителей, так как делители делят также и ( N ) и ( N^2 ), получаем, что у числа ( N ) может быть не более ( 50 ) натуральных делителей.