Высшая математика для гениев Как доказать что число 2*(6^(n)+1) ни при каком натуральном n нельзя представить в виде произведения двух натуральных последовательных чисел

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства этого утверждения можно воспользоваться доказательством от противного.

Предположим, что число 2*(6^(n)+1) можно представить в виде произведения двух натуральных последовательных чисел, то есть:

2(6^(n)+1) = a(a+1), где a - натуральное число.

Разложим левую часть на множители:

2(6^(n)+1) = 26^(n) + 2 = 23^n2 + 2 = 2^(n+2) + 2

Теперь заменим правую часть на a(a+1):

a*(a+1) = a^2 + a

Таким образом, уравнение примет вид:

2^(n+2) + 2 = a^2 + a

Если предположить, что число a равно какому-то натуральному числу k, то нам нужно показать, что нельзя найти такое k, при котором уравнение выполняется для всех натуральных n.

Для начала рассмотрим случай, когда n = 1. Подставим n = 1 в уравнение:

2^(1+2) + 2 = 2^3 + 2 = 8 + 2 = 10

Таким образом, левая часть равна 10. Рассмотрим возможные значения правой части уравнения для различных значений числа k:

Мы видим, что значения правой части не равны левой части уравнения для всех натуральных чисел k, а значит, наше предположение неверно. Следовательно, число 2*(6^(n)+1) нельзя представить в виде произведения двух натуральных последовательных чисел для любого натурального n.