В треугольнике АВС проведена медиана АМ Точки Р на отрезке АМ и Q на стороне АС расположены так, что AP PM : 1: 2, AQ QC : 3: 2. Докажите, что прямые BP и MQ параллельны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку AP:PM = 1:2, то точка P делит отрезок AM на отношение 1:2. Таким образом, AM = 3MP.

Аналогично, так как AQ:QC = 3:2, то QC = 2QА.

Так как M является серединой отрезка ВС (так как M - середина стороны АС), то AM = MC. Таким образом, MC = 3MP.

Поскольку CV = MC + QV и MC = 3MP, то CV = 3MP + QV.

С другой стороны, т.к. QV = QC - VC и QC = 2QА, то QV = 2QА - CV. Таким образом, QV = 2QА - 3MP.

Из равенства CV = 3MP и QV = 2QА - 3MP следует, что CV = QV, что означает, что треугольники AMС и AQV подобны.

Из подобия треугольников следует, что углы AMС и AQV равны.
Поскольку AM//ВС и прямой MQ пересекает ВС в точке М, следовательно, прямые BP и MQ параллельны.