Материальная точка движется по закону x(t)=3t^2+4t+2 . Найдите путь, пройденный точкой к моменту, когда её скорость стала равной 16

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения пути, пройденного точкой к моменту, когда её скорость стала равной 16, нужно найти производную от закона движения по времени, чтобы найти скорость точки.

Подсчитаем скорость: v(t) = x'(t) = 6t + 4

Теперь нужно найти момент времени t, в который скорость равна 16:

6t + 4 = 16
6t = 12
t = 2

Итак, скорость становится равной 16 в момент времени t = 2.

Теперь найдем путь, пройденный точкой к моменту, когда её скорость стала равной 16, используя интеграл длины дуги:

S = ∫(sqrt(1 + (6t + 4)^2))dt на интервале от 0 до 2

S = ∫(sqrt(1 + (6t+4)^2))dt на интервале от 0 до 2
S = ∫sqrt(1 + (36t^2 + 48t + 16))dt на интервале от 0 до 2
S = ∫sqrt(36t^2 + 48t + 17)dt на интервале от 0 до 2
S = ∫sqrt((6t + 4)^2 + 1)dt на интервале от 0 до 2

Сделаем замену: u = 6t + 4
du = 6dt

S = (1/6)∫sqrt(u^2 + 1)du на интервале от 4 до 16
S = (1/6)((1/2)u√(u^2 + 1) + (1/2)ln|u + √(u^2 + 1)| ) на интервале от 4 до 16
S = (1/6)((1/2)(6t + 4)√((6t + 4)^2 + 1) + (1/2)ln|(6t + 4) + √((6t + 4)^2 + 1)| ) на интервале от 0 до 2

Теперь вычислим это:

S = (1/6)((1/2)(12 + 4)√((12 + 4)^2 + 1) + (1/2)ln|(12 + 4) + √((12 + 4)^2 + 1)| -
((1/2)(4)√((4)^2 + 1) + (1/2)ln|(4) + √((4)^2 + 1)|)

S = (1/6)(16√(16^2 + 1) + 1/2ln|16 + √(16^2 + 1)| - (2√(4^2 + 1) + 1/2ln|4 + √(4^2 + 1)|)
S = (1/6)(16√257 + 1/2ln(16 + √257) - 2√17 - 1/2ln(4 + √17))

Таким образом, путь, пройденный точкой к моменту, когда её скорость стала равной 16, равен 16√257/6 + 1/2ln(16 + √257) - 2√17/6 - 1/2ln(4 + √17) ≈ 22.688.