Докажите, что деление квадрата простого числа p ≥ 5 на 24 дает 1 остаток. Докажите, что деление квадрата простого числа p ≥ 5 на 24 дает 1 остаток.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть p - простое число, p ≥ 5.

Так как p - простое число, то оно нечетное. Значит, p = 2k + 1 для некоторого целого числа k.

Тогда p² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1.

Так как k - целое число, то k² + k тоже будет целым числом.

Заметим, что одно из чисел k и (k+1) является четным. Таким образом, либо k = 2m, либо k+1 = 2m для некоторого целого числа m.

Подставим это обратно в формулу p² = 4(k² + k) + 1.

Если k = 2m, то п² = 4(4m² + 2m) + 1 = 16m² + 8m + 1.

Если k+1 = 2m, то p² = 4(4m² + 2m + 1) + 1 = 16m² + 8m + 5.

В обоих случаях видим, что p² при делении на 24 дает остаток 1.

Таким образом, доказано, что деление квадрата простого числа p ≥ 5 на 24 дает 1 остаток.