Как строго доказать, что число π является трансцендентным числом? Т. е. число, которое не может быть корнем многочлена с целочисленными коэффициентами (не равного тождественно нулю).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство трансцендентности числа π было впервые предложено Йоганном Ламбертом в 1768 году и усовершенствовано впоследствии Лиувиллем и Гельфондом. Оно основано на теории алгебраических чисел.

Предположим, что π - алгебраическое число, т.е. может быть корнем некоторого многочлена f(x) = anx^n + a{n-1}x^{n-1} + ... + a_0 с целочисленными коэффициентами.

Рассмотрим многочлен g(x) = a_n!f(x) - a_n!(anx^n + a{n-1}x^{n-1} + ... + a_0), где a_n! обозначает факториал числа a_n. Этот многочлен g(x) тоже имеет целочисленные коэффициенты.

Так как π является корнем многочлена f(x), то π также является корнем многочлена g(x), так как g(π) = 0.

Теперь рассмотрим многочлен h(x) = x^n g(1/x) = an!x^n + a{n-1}x^{n-1} + ... + a_0. Этот многочлен также имеет целочисленные коэффициенты и имеет корень π.

Многочлен h(x) может быть записан в виде h(x) = P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены с целочисленными коэффициентами и Q(π) = 0.

Теперь воспользуемся теоремой Гельфонда-Шнайдера, которая гласит, что если α и β - алгебраические числа, причем α ≠ 0, 1 и β ≠ 0, число α^β трансцендентно.

Применим эту теорему к числам π и 1/π, так как π ≠ 0, 1 и 1/π ≠ 0. Получим, что число π^(1/π) = (π)^(1/π) = (π^(1/π)) трансцендентно.

Но π^(1/π) = π^(π^{-1}) = exp(π^{-1} ln(π)) = exp(ln(π)/π).

Из f(π) = 0 следует f(π)^(1/π) = 0, т.е. π - также иррационально. Однако это противоречит тому, что π^(1/π) - трансцендентное число.

Из этого следует, что π является трансцендентным числом.