Размерность векторного пространства, комбинации Дано n + 2 вектора в n-мерном пространстве. Докажите, что существует их нетривиальная комбинация с нулевой
суммой коэффициентов, равная нулю.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем данное утверждение методом математической индукции.

База индукции:
При n = 1 данное утверждение выполняется, так как у нас есть 3 вектора в одномерном пространстве, и хотя бы два из них линейно зависимы (иначе они образовали бы базис пространства), следовательно, существует нетривиальная комбинация вида av1 + bv2 + c*v3 = 0, где a, b, c - не все равны нулю.

Индукционный переход:
Пусть утверждение верно для n = k. Докажем его для n = k + 1.

Рассмотрим (k+3) вектора в k+1-мерном пространстве: v1, v2, ..., vk, vk+1, vk+2.
По предположению индукции, первые k+2 вектора линейно зависимы, т.е. существуют такие коэффициенты a1, a2, ..., ak+2 (не все равные нулю), что a1v1 + a2v2 + ... + ak+2*vk+2 = 0.

Если хотя бы два из векторов v1, v2, ..., vk, vk+1, vk+2 линейно независимы, то доказательство завершено (так как мы уже можем составить нетривиальную комбинацию суммируя эти вектора с коэффициентами a1, a2, ..., ak+2).

Если все эти вектора линейно зависимы, то просто выберем любые два различных вектора из них и применим утверждение для подпространства, натянутого на эти два вектора. Получим нетривиальную комбинацию, в которой сумма коэффициентов равна нулю.

Таким образом, утверждение доказано.