Размерность векторного пространства, базис Рассмотрим пространство многочленов над полем K степени не выше 2 (как пространство над K). Найдите такой
базис, что любой многочлен f в этом базисе имеет координаты (f(0), f(1), f(2)). Обоснуйте свой ответ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти базис векторного пространства многочленов над полем K степени не выше 2, мы должны найти линейно независимый набор многочленов, который порождает все многочлены данной степени.

Пусть базис состоит из многочленов p0(x), p1(x), p2(x). Тогда любой многочлен f(x) данной степени можно представить в виде линейной комбинации базисных многочленов:
f(x) = a0 p0(x) + a1 p1(x) + a2 * p2(x).

Так как координаты вектора вектора f в данном базисе равны (f(0), f(1), f(2)), то подставляя значения x = 0, x = 1, x = 2 в выражение f(x), получаем систему уравнений:
f(0) = a0 p0(0) + a1 p1(0) + a2 p2(0),
f(1) = a0 p0(1) + a1 p1(1) + a2 p2(1),
f(2) = a0 p0(2) + a1 p1(2) + a2 * p2(2).

Мы можем рассмотреть многочлены, значения которых в точках 0, 1, 2 равны единице, а в остальных точках - нулю. Например, p0(x) = 1, p1(x) = x - 1, p2(x) = x^2 - 3x + 2. Подставив их в систему уравнений, мы получим, что координаты многочлена f в этом базисе будут равны (f(0), f(1), f(2)).

Таким образом, базисом векторного пространства многочленов над полем K степени не выше 2, таких что любой многочлен f в этом базисе имеет координаты (f(0), f(1), f(2)), является набор многочленов {1, x - 1, x^2 - 3x + 2}.