Размерность векторного пространства Рассмотрим множество векторов в K^6
с нулевой суммой координат и таких, что сумма координат с четными номерами
равна сумме координат с номерами, кратными 3. Докажите, что это подпространство, найдите его размерность и
укажите его базис.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем, что данное множество является подпространством векторного пространства K^6.

Нулевой вектор принадлежит данному множеству, так как его координаты равны 0 и удовлетворяют условию задачи.

Пусть u, v - произвольные векторы из данного множества. Тогда их сумма u + v также будет принадлежать данному множеству, так как сумма координат с четными номерами и сумма координат с номерами, кратными 3, по свойствам сложения векторов сохраняются.

Пусть u - произвольный вектор из данного множества, а c - произвольное число из поле K. Тогда вектор c * u также будет принадлежать данному множеству, так как умножение вектора на число не изменяет суммы координат с четными номерами и суммы координат с номерами, кратными 3.

Таким образом, данное множество является подпространством векторного пространства K^6.

Найдем размерность этого подпространства. Пусть базис векторного пространства K^6 состоит из векторов e1, e2, e3, e4, e5, e6, где ei - вектор, у которого i-ая координата равна 1, а остальные координаты равны 0.

Так как векторы из данного подпространства имеют нулевую сумму координат, то элементы базиса должны удовлетворять условиям:
e1 + e2 + e3 + e4 + e5 + e6 = 0
e2 + e5 = e3 + e6

Из первого уравнения следует, что один из векторов базиса является линейной комбинацией остальных, например e1 = -e2 - e3 - e4 - e5 - e6. Подставим это выражение во второе уравнение:
e2 + e5 = e3 + e6
e2 + e5 = e3 + e6*(-1) - e3 - e4 - e5 - e6
e2 + e5 = -e4
e4 = -e2 - e5

Таким образом, базисом данного подпространства являются векторы e2, e3, e5. Размерность данного подпространства равна 3.