Система уравнений при k Дана система
2x1 + x2 − x3 + x4 = 1
3x1 − 2x2 + 2x3 − 3x4 = 2
5x1 + x2 − x3 + 2x4 = −1
2x1 − x2 + x3 − 3x4 = k
Выяснить при каких k есть решение и решить.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы система имела решение, необходимо чтобы определитель основной матрицы был неполон. Основная матрица системы имеет вид:

2 1 -1 1
3 -2 2 -3
5 1 -1 2
2 -1 1 -3

Определитель этой матрицы равен 3.

Таким образом, система будет иметь решение для любого числа k.

Для дальнейшего решения системы приведем ее к ступенчатому виду.

2 1 -1 1 | 1
0 -5 5 -6 | -1
0 0 0 -1 | 4
0 0 0 0 | k-4

Получаем, что x4 = (k-4)/(-1) = 4-k.

Подставим это значение обратно в предыдущие уравнения:

5x1 + x2 − x3 + 2(4-k) = −1
2x1 − x2 + x3 − 3(4-k) = k

5x1 + x2 − x3 + 8 - 2k = -1
2x1 - x2 + x3 - 12 + 3k = k

Теперь решим получившуюся систему уравнений методом подстановки:

Первое уравнение: x1 = (2k-9)/3
Подставляем во второе уравнение и находим x2 = (5k+18)/6
Подставляем x1 и x2 в третье уравнение и находим x3 = (12-7k)/3

Таким образом, решение системы для любого k удовлетворяет условию определенности системы и равно:
x1 = (2k-9)/3
x2 = (5k+18)/6
x3 = (12-7k)/3
x4 = 4-k