Задание по геометрии, окружности. Задание внизу. Две окружности пересекаются в точках А и В, через точку А проведены хорды АС и АD, касающиеся данных окружностей. АС: АD=5:4. Найдите отношение ВС: ВD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиусы окружностей равны r1 и r2, соответственно.

Точка С лежит на окружности с радиусом r1. Пусть AC = x, тогда BD = 5x/4 (по условию АС:АD = 5:4).

Поделим отрезок AB в отношении 5:4 (как и отрезок AC)

AB = 5r1/(5+4) = r1
AC = 5r1/9
BC = AB - AC = 4r1/9

В данном случае длина хорды ВС равна 2·√(r1·r2).

Из подобия прямоугольных треугольников ВСА и САD:
(2·√(r1·r2)) / AC = BD / AD
(2·√(r1·r2)) / (5r1/9) = 5r1/4 / r2
(2·√(r1·r2)) / (5r1/9) = 5/4
(2·√(r1·r2)) = 5·(5r1/9) / 4
2√(r1·r2) = 25r1/18
√(r1·r2) = 25r1 / 36
r1r2 = (25r1)^2 / 36^2 = 625r1^2 / 1296

Отношение ВС к ВD:
BC / BD = 4r1/9 / 5r1/4 = 16/45

Итак, отношение ВС к ВD равно 16:45.