Найти объём тела, ограниченного поверхностями, полученными вращением вокруг оси Ox линий y=x^2-x, x=0, x=2 Найти объём тела, ограниченного поверхностями, полученными вращением вокруг оси Ox линий y=x^2-x, x=0, x=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем точки пересечения линии y=x^2-x с осями Ox:

Когда у=0, x^2-x=0 => x(x-1)=0 => x=0 или x=1
Когда x=2, y=2^2-2=2

Таким образом, наши точки пересечения: (0,0), (1,0) и (2,2)

Теперь построим график данной функции, чтобы найти границы вращения:

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
x = np.linspace(0,2,100)
y = x**2-x
plt.plot(x,y)
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)
plt.show()

Исходя из графика, видно что кривая y=x^2-x ограничена графиками x=0 и x=2. Таким образом, мы найдем объем тела вращения вокруг оси Ox с помощью интеграла следующим образом:

V = π∫[0,2] ((x^2-x)^2)dx

V = π∫[0,2] (x^4 - 2x^3 + x^2)dx

V = π[x^5/5 - x^4/2 + x^3/3]∣[0,2]

V = π[(2^5/5 - 2^4/2 + 2^3/3) - (0)]

V = π[(32/5 - 8 + 8/3)]

V = π[(32/5 - 40/5 + 40/15)]

V = π[(32/5 - 40/5 + 8/15)]

V = π[-8/15]

Ответ: объем тела, ограниченного поверхностями, полученными вращением вокруг оси Ox линий y=x^2-x, x=0, x=2 равен -8π/15.