Найти промежутки возрастания и убывания функции : 1)f(x)=x*e^x 2)f(x)=x*lnx

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Функция f(x) = x*e^x

Для нахождения промежутков возрастания и убывания нужно найти производные функции и решить неравенства для производных.

f'(x) = e^x + x*e^x = e^x(1 + x)

Теперь найдем точки экстремума:

e^x(1 + x) =
e^x ≠ 0, поэтому x = -1.

Проверим знаки производной в окрестностях точки x = -1:

f'(-2) = e^-2(1-2) < 0 значит функция убывает на интервале (-бесконечность, -1)

f'(-1/2) = e^-1/2(1-1/2) > 0 значит функция возрастет на интервале (-1, +бесконечность)

Получаем, что функция f(x) = x*e^x возрастает на интервале (-1, +бесконечность) и убывает на интервале (-бесконечность, -1).

2) Функция f(x) = x*lnx

Также найдем производную:

f'(x) = 1lnx + x(1/x) = 1 + ln(x)

Теперь найдем точки экстремума:

1 + ln(x) =
ln(x) = -
x = e^-1 = 1/e

Проверим знаки производной в окрестностях точки x = 1/e:

f(0) = 1 + ln(x) < 0 значит функция убывает на интервале (0, 1/e)

f(1) = 1 + ln(x) > 0 значит функция возрастает на интервале (1/e, +бесконечность)

Получаем, что функция f(x) = x*lnx убывает на интервале (0, 1/e) и возрастает на интервале (1/e, +бесконечность).