Доказать примеры по алгебре Доказать: 1) (1 + х) ^n > 1 + nx верно при x>=-1, x != 0, n > 1
2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + .+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Для начала докажем это утверждение для n=2:

(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2
1 + 2x + x^2 > 1 + 2x

Из этого следует, что (1 + x)^2 > 1 + 2x при x>=-1, x != 0.

Теперь предположим, что это неравенство верно для некоторого n=k > 1:

(1 + x)^k > 1 + kx

Умножим обе части на (1 + x):

(1 + x)^(k+1) > (1 + kx)(1 + x)
(1 + x)^(k+1) > 1 + (k+1)x + kx^2

Поскольку k > 1, то kx^2 > x, тогда

1 + (k+1)x + kx^2 > 1 + (k+1)x

Следовательно, (1 + x)^(k+1) > 1 + (k+1)x. Доказано.

2) Воспользуемся методом математической индукции:

При n=1:

1^2 = 1 = 1(1+1)(2*1+1)/6

Для n=k:

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6

Докажем для n=k+1:

1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2
= (k^2 + k)(2k+1)/6 + (k+1)^2
= (2k^3 + 3k^2 + k)/6 + (k^2 + 2k + 1)
= (2k^3 + 3k^2 + k + 6k^2 + 12k + 6)/6
= (2k^3 + 9k^2 + 13k + 6)/6
= (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6

Следовательно, утверждение верно.