Задачка по начальной алгебре Доказать, что если (a^2+b^2)/(ab+1) делится нацело, то результат деления полный квадрат (d^2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Предположим, что (a^2 + b^2)/(ab + 1) делится нацело, то есть существует целое число d, такое что:

(a^2 + b^2)/(ab + 1) = d

Преобразуем данное уравнение:

a^2 + b^2 = d(ab + 1)

a^2 + b^2 = dab + d

Перенесем все слагаемые на одну сторону:

a^2 - dab + b^2 - d = 0

Теперь рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной a:

a^2 - daba + b^2 - d = 0

Дискриминант такого уравнения равен:

D = (daba)^2 - 4(1)(b^2 - d) = d^2a^2b^2 - 4b^2 + 4d

Так как уравнение имеет целые корни, то дискриминант должен быть полным квадратом. Пусть D = x^2, тогда:

x^2 = d^2a^2b^2 - 4b^2 + 4d

Получаем:

x^2 = (db)^2 - 4b^2 + 4d

Распишем первое слагаемое в правой части:

x^2 = b^2d^2 - 4b^2 + 4d = (bd - 2)^2

Таким образом, доказано, что если (a^2 + b^2)/(ab + 1) делится нацело, то результат деления является полным квадратом (d^2).