Доказательство:
Предположим, что (a^2 + b^2)/(ab + 1) делится нацело, то есть существует целое число d, такое что:
(a^2 + b^2)/(ab + 1) = d
Преобразуем данное уравнение:
a^2 + b^2 = d(ab + 1)
a^2 + b^2 = dab + d
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
a^2 - dab + b^2 - d = 0
Теперь рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной a:
a^2 - daba + b^2 - d = 0
Дискриминант такого уравнения равен:
D = (daba)^2 - 4(1)(b^2 - d) = d^2a^2b^2 - 4b^2 + 4d
Так как уравнение имеет целые корни, то дискриминант должен быть полным квадратом. Пусть D = x^2, тогда:
x^2 = d^2a^2b^2 - 4b^2 + 4d
Получаем:
x^2 = (db)^2 - 4b^2 + 4d
Распишем первое слагаемое в правой части:
x^2 = b^2d^2 - 4b^2 + 4d = (bd - 2)^2
Таким образом, доказано, что если (a^2 + b^2)/(ab + 1) делится нацело, то результат деления является полным квадратом (d^2).
Доказательство:
Предположим, что (a^2 + b^2)/(ab + 1) делится нацело, то есть существует целое число d, такое что:
(a^2 + b^2)/(ab + 1) = d
Преобразуем данное уравнение:
a^2 + b^2 = d(ab + 1)
a^2 + b^2 = dab + d
Перенесем все слагаемые на одну сторону:
a^2 - dab + b^2 - d = 0
Теперь рассмотрим это уравнение как квадратное уравнение относительно переменной a:
a^2 - daba + b^2 - d = 0
Дискриминант такого уравнения равен:
D = (daba)^2 - 4(1)(b^2 - d) = d^2a^2b^2 - 4b^2 + 4d
Так как уравнение имеет целые корни, то дискриминант должен быть полным квадратом. Пусть D = x^2, тогда:
x^2 = d^2a^2b^2 - 4b^2 + 4d
Получаем:
x^2 = (db)^2 - 4b^2 + 4d
Распишем первое слагаемое в правой части:
x^2 = b^2d^2 - 4b^2 + 4d = (bd - 2)^2
Таким образом, доказано, что если (a^2 + b^2)/(ab + 1) делится нацело, то результат деления является полным квадратом (d^2).