Y=(x+2)^2 * e^3-x - найдите точку максимума функции!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения точки максимума функции Y=(x+2)^2 * e^(3-x) нам необходимо найти критическую точку, при которой производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную функции Y по x:
Y' = [(x+2)^2 e^(3-x)]' = [(x+2)^2]' e^(3-x) + (x+2)^2 * [e^(3-x)]'

Y' = 2(x+2)e^(3-x) + 2(x+2)^2 (-e^(3-x))

Упростим:
Y' = 2(x+2)e^(3-x) - 2(x+2)^2e^(3-x)
Y' = 2e^(3-x)(x+2 - 2(x+2))

Y' = 2e^(3-x)(x+2 - 2x - 4)
Y' = 2e^(3-x)(-x - 2)

Теперь найдем критическую точку, при которой производная равна нулю:
2e^(3-x)(-x - 2) = 0

Таким образом, критическая точка функции находится в точке x = -2.

Чтобы убедиться, что это точка максимума, проанализируем знак второй производной функции Y в окрестности этой точки. Если вторая производная отрицательна, то точка будет максимумом.

Вычислим вторую производную функции Y:
Y'' = [2e^(3-x)(-x - 2)]' = 2e^(3-x)(-2) + 2(-x - 2)(-e^(3-x))
Y'' = -4e^(3-x) + 2(-x - 2)(-e^(3-x))
Y'' = -4e^(3-x) + 2(-x - 2)(-e^(3-x))
Y'' = -4e^(3-x) + 2e^(3-x)(x + 2)

Теперь вычислим значение второй производной в точке x = -2:
Y''(-2) = -4e^(3+2) + 2e^(3-2)(-2 + 2)
Y''(-2) = -4e^5 + 2e(-2)

Так как e^5 и e(-2) положительны, то знак второй производной зависит от выражения -4 + 2(-2 + 2) = -4, что меньше нуля.

Следовательно, точка x = -2 является точкой максимума функции Y=(x+2)^2 * e^(3-x).