Теперь найдем критическую точку, при которой производная равна нулю: 2e^(3-x)(-x - 2) = 0
учтем, что e^(3-x) всегда положительно и не равно нулю, поэтому рассмотрим только выражение в скобках: -x - 2 = 0 -x = 2 x = -2
Таким образом, критическая точка функции находится в точке x = -2.
Чтобы убедиться, что это точка максимума, проанализируем знак второй производной функции Y в окрестности этой точки. Если вторая производная отрицательна, то точка будет максимумом.
Для нахождения точки максимума функции Y=(x+2)^2 * e^(3-x) нам необходимо найти критическую точку, при которой производная функции равна нулю.
Сначала найдем производную функции Y по x:
Y' = [(x+2)^2 e^(3-x)]' = [(x+2)^2]' e^(3-x) + (x+2)^2 * [e^(3-x)]'
Y' = 2(x+2)e^(3-x) + 2(x+2)^2 (-e^(3-x))
Упростим:
Y' = 2(x+2)e^(3-x) - 2(x+2)^2e^(3-x)
Y' = 2e^(3-x)(x+2 - 2(x+2))
Y' = 2e^(3-x)(x+2 - 2x - 4)
Y' = 2e^(3-x)(-x - 2)
Теперь найдем критическую точку, при которой производная равна нулю:
учтем, что e^(3-x) всегда положительно и не равно нулю, поэтому рассмотрим только выражение в скобках:2e^(3-x)(-x - 2) = 0
-x - 2 = 0
-x = 2
x = -2
Таким образом, критическая точка функции находится в точке x = -2.
Чтобы убедиться, что это точка максимума, проанализируем знак второй производной функции Y в окрестности этой точки. Если вторая производная отрицательна, то точка будет максимумом.
Вычислим вторую производную функции Y:
Y'' = [2e^(3-x)(-x - 2)]' = 2e^(3-x)(-2) + 2(-x - 2)(-e^(3-x))
Y'' = -4e^(3-x) + 2(-x - 2)(-e^(3-x))
Y'' = -4e^(3-x) + 2(-x - 2)(-e^(3-x))
Y'' = -4e^(3-x) + 2e^(3-x)(x + 2)
Теперь вычислим значение второй производной в точке x = -2:
Y''(-2) = -4e^(3+2) + 2e^(3-2)(-2 + 2)
Y''(-2) = -4e^5 + 2e(-2)
Так как e^5 и e(-2) положительны, то знак второй производной зависит от выражения -4 + 2(-2 + 2) = -4, что меньше нуля.
Следовательно, точка x = -2 является точкой максимума функции Y=(x+2)^2 * e^(3-x).