Найти объём пирамиды Сторона меньшего основания правильной усечённой треугольной пирамиды равна 4, а боковое ребро равно 6 см и образует с плоскостью большого основания угол 45. Найти объём пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через ( a ) длину стороны большего основания треугольной пирамиды.

Так как боковое ребро образует с плоскостью большого основания угол 45 градусов, то боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником. Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольный равнобедренный треугльник с катетами 6 и ( \frac{a}{2} ) и гипотенузой ( a ).

По теореме Пифагора, найдем длину стороны большего основания пирамиды:
[ \left( \frac{a}{2} \right)^2 + 6^2 = a^2 ]
[ \frac{a^2}{4} + 36 = a^2 ]
[ 3a^2 = 144 ]
[ a = 4\sqrt{3} ]

Теперь найдем площадь большего основания пирамиды:
[ S_1 = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(4\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} ]

Теперь расмотрим правильный треугольник с катетами 3 и 3\sqrt{3} и найдем его высоту:
[ h = 3 \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3} ]

Найдем площадь меньшего основания пирамиды:
[ S_2 = \frac{4 \cdot 4 \cdot \sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} ]

Наконец, найдем объем усеченной пирамиды:
[ V = \frac{1}{3} \cdot (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \cdot S_2}) \cdot h ]
[ V = \frac{1}{3} \cdot (16\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + \sqrt{(16\sqrt{3}) \cdot (8\sqrt{3})}) \cdot 3\sqrt{3} ]
[ V = \frac{1}{3} \cdot (24\sqrt{3} + 24\sqrt{3} + 24\sqrt{3}) \cdot 3\sqrt{3} ]
[ V = \frac{1}{3} \cdot 72\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} ]
[ V = 72 \cdot 3 = 216 ]

Таким образом, объем усеченной пирамиды равен 216 кубическим сантиметров.