Задача на преобразования многочленов, и разумный подбор (как я понял) Про многочлен $$P(x)$$ четвёртой степени известно, что для любого вещественного $$x$$ выполнено$$P\left(x\right)⩾2x$$, а также $$P(2) + P(4) = 12$$, $$P(3) = 8$$. Найдите $$P(5)$$.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что для любого вещественного $$x$$ выполняется $$P(x)⩾2x$$. Это означает, что график функции $$P(x)$$ находится выше прямой $$y=2x$$ для всех $$x$$.

Также известно, что $$P(3) = 8$$. Значит, уравнение многочлена выглядит следующим образом: $$P(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + 8$$.

По условию, $$P(2) + P(4) = 12$$. Подставляя уравнение многочлена, получаем:

$$(16a + 8b + 4c + 2d + 8) + (256a + 64b + 16c + 4d + 8) = 12$$

$$272a + 72b + 20c + 6d + 16 = 12$$

$$272a + 72b + 20c + 6d = -4$$

Из условия что $$P(x)⩾2x$$ видно, что коэффициент при $$x^4$$ должен быть положительным, следовательно, $$a > 0$$.

Подставим данные в найденное уравнение:

$$272a + 72b + 20c + 6d = -4$$

$$272a + 72b + 20c + 6d = -4$$

Подставим значения $$a = 1$$:

$$272 + 72b + 20c + 6d = -4$$

$$272 + 72b + 20c + 6d = -4$$

Найдём b, c, d

$$72b + 20c + 6d = -276$$

$$72b = -280$$

$$b = -280/72 = -35/9$$;

$$20c + 6d = -276$$

$$20c + 6d = -276$$

$$20c + 6d = -276$$

$$20c - 6*35 = -276$$

$$c = -51/10$$

$$6d = -276 - 20*(-51/10)$$

$$6d = -276 + 255/10$$

$$d = -21/10$$

Таким образом, многочлен $$P(x) = x^4 - (35/9)x^3 - (51/10)x^2 - (21/10)x + 8$$. Теперь найдём $$P(5)$$:

$$P(5) = 5^4 - (35/9)5^3 - (51/10)5^2 - (21/10)*5 + 8$$

$$P(5) = 625 - (875/9) - 127.5 - 10.5 + 8$$

$$P(5) = 625 - 97.22 - 127.5 - 10.5 + 8$$

$$P(5) = 397.78$$

Итак, $$P(5) = 397.78$$.