Пусть а+b=2 доказать,что а^4+b^4больше или равно2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это неравенство, используя неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим для двух чисел.

Из условия задачи мы знаем, что a + b = 2.

Рассмотрим выражение a^4 + b^4.

По формуле разности квадратов, мы можем выразить данное выражение следующим образом:

a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2.

Теперь представим (a^2 + b^2)^2 в виде (a^2 + b^2)^2 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2, добавив и вычтя 2a^2b^2:

a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (a^4 + b^4 + 2a^2b^2) - 2a^2b^2 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2 - 2a^2b^2 = a^4 + b^4.

Таким образом, мы имеем равенство a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (a^4 + b^4 + 2a^2b^2) - 2a^2b^2 = a^4 + b^4.

Далее преобразуем выражение a^4 + b^4:

a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 = (2 - 2ab)^2 - 2a^2b^2 = 4 - 8ab + 4a^2b^2 - 2a^2b^2 = 4 - 6ab + 2a^2b^2.

Так как ab ≤ (a^2 + b^2)/2 = 1 величина 6ab ≤ 3, то a^4 + b^4 ≥ 4 - 3 = 1

Таким образом, мы доказали, что a^4 + b^4 ≥ 1.