Найти рациональную функцию 4 степени Рациональная функция четвертой степени имеет экстремум при х=-2, в точке Т(1;1) минимум. В точке х=0 - касательную с уравнением y=-4x+5.
Найти, чему равна функция.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что у рациональной функции 4 степени есть экстремум при x=-2, минимум в точке T(1;1) и касательная с уравнением y=-4x+5 при x=0.

Поскольку минимум находится в точке T(1;1), то функция имеет вид
f(x) = a(x-1)^2 + b(x-1)^3 + c(x-1)^4 + d

Также, по условию касательная имеет уравнение y=-4x+5, а значит, касательная проходит через точку (0;5). Это дает нам дополнительное условие для нахождения коэффициентов.

Подставим точку (0;5) в уравнение касательной
5 = -4*0 +
5 = 5

Таким образом, уравнение касательной несоответствующее данному условию, поэтому ошибка. Попробуем другой метод
Найдем производную функции и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума
f'(x) = 2a(x-1) + 3b(x-1)^2 + 4c(x-1)^3

f'(x) = 2ax - 2a + 3bx^2 - 6bx + 3b + 4cx^3 - 12cx^2 + 12cx - 4c

Теперь приравняем производную к нулю и найдем значения коэффициентов a, b и c:

0 = 2a - 2a + 3b - 6b + 3b + 4c - 12c + 12
0 = 3
b = 0

Отсюда a и c могут быть любыми числами.

Теперь, зная, что b=0, уравнение функции сокращается до
f(x) = a(x-1)^2 + c(x-1)^4 + d

Подставим точку T(1;1) и найдем значения a и c
1 = a(1-1)^2 + c(1-1)^4 +
1 = d

Таким образом, функция имеет вид
f(x) = a(x-1)^2 + c(x-1)^4 + 1

Теперь подставим уравнение касательной y=-4x+5 при x=0
5 = a(0-1)^2 + c(0-1)^4 +
5 = a + c + 1

Соединим предыдущие два уравнения
5 = a + c + 1

Отсюда находим значения a=3 и c=1.

Итак, искомая рациональная функция имеет вид
f(x) = 3(x-1)^2 + (x-1)^4 +
f(x) = 3(x^2 - 2x + 1) + x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x +
f(x) = 3x^2 - 6x + 3 + x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x +
f(x) = x^4 - 4x^3 + 9x^2 - 10x + 4