Векторы в кубе задача Дан куб ABCDA1B1C1D1, длина ребра которого равна 5.
1) найдите угол между векторами АD1 и BM, где точка М делит ребро DD1 в отношении 4:1
2) Найдите площадь сечения плоскостью (АМС)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Обозначим вектор АD1 как а и вектор BM как b. Точка M делит ребро DD1 в отношении 4:1, значит вектор BM = 4/5 вектор MD + 1/5 вектор DD1. Так как вектор D1D перпендикулярен вектору AD1, то вектор MD1 = - вектор AD1. Тогда вектор BM = 4/5 (-вектор AD1) + 1/5 (-вектор AD1) = -5/5 * вектор AD1 = -вектор AD1. Таким образом, вектор BM = -вектор AD1.

Поскольку угол между векторами определяется как cos(θ) = (a b) / (|а| |b|), где a * b - скалярное произведение векторов, то для нахождения угла между векторами АD1 и BM нам нужно найти скалярное произведение векторов и их длины.

|а| = |AD1| = √(5^2 + 5^2) = √50
|b| = |BM| = √(5^2 + 5^2) = √50

a b = |а| |b| cos(θ) = √50 √50 cos(θ) = 50 cos(θ)

Так как вектор BM = -вектор AD1, то cos(θ) = -1, следовательно cos(θ) = -50 и θ = arccos(-1) = 180 градусов.

Ответ: угол между векторами АD1 и BM равен 180 градусов.

2) Сечение плоскостью (АМС) будет параллелограммом, образованным векторами AM и AS, где S - середина ребра А1С1.

Длина вектора AM = √(5^2 + 10^2) = √125
Длина вектора AS = √((5/2)^2 + 5^2) = √(25/4 + 25) = √((25 + 100)/4) = √(125/4) = √31.25

Площадь параллелограмма, образованного векторами AM и AS, равна произведению длин векторов: S = |AM| |AS| sin(φ), где φ - угол между векторами AM и AS.

sin(φ) = (AM AS) / (|AM| |AS|)
sin(φ) = (5 10) / (√125 √31.25) = 50 / (5√5 5√5) = 50 / 25 5 = 2

Таким образом, площадь сечения плоскостью (АМС) равна S = √125 √31.25 2 = 5√125 5√31.25 2 = 25 5 2 = 250

Ответ: площадь сечения плоскостью (АМС) равна 250 единиц^2.