Решить ДУ высших порядков (y')^2-yy''=xyy'/x^2+1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное дифференциальное уравнение высших порядков можно решить путем введения новой переменной и последующего решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть z = y', тогда получаем систему:

z = y'
z' = xy/x^2 + 1.

Для решения этой системы, найдем производные по x от обоих уравнений:

z' = y''
z'' = (1/x)y' + y''.

Подставим z = y' и полученные выражения для z' и z'' обратно в исходное уравнение:

z^2 - yz'' = xy/z.

Подставим найденные значения для z, z' и z'':

(y')^2 - y(y'' + 1/x y') = xy/y'.

Разложим уравнение:

y'y' - y(y'' + y'/x) = xy/y'.

y'y' - y(y'' + y'/x) = xy/y'.

y'y' - y(y'' + y'/x) = xy/y',

Полученное уравнение имеет вид:

y'y' - yy'' - y^2/x = xy/y',

Упростим его:

y'y' - yy'' - y^2/x = xy/y'
y'y' - yy'' - y^2/x = y,

Теперь решим полученное уравнение.