Найти частный интеграл xdt-(t-sqrt(t^2-x^2))dx=0 t(1)=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного интеграла используем метод интегрирования по частям.

∫[xdt - (t - sqrt(t^2 - x^2)) dx] = 0

Распишем оба члена интеграла и произведем дифференцирование:

∫x dt - ∫t dx + ∫sqrt(t^2 - x^2) dx = 0

dt = d(t) = 1
dx = d(x) = 0
d(sqrt(t^2 - x^2)) = -x/sqrt(t^2-x^2) dx

Теперь подставляем полученные значения и производим вычисления:

∫x dt - ∫t dx + ∫sqrt(t^2 - x^2) dx = 0
∫x dt - ∫t dx - ∫x √(t^2 - x^2) dx = 0

Интегрируем по частям, представляя интеграл в виде произведения двух функций:

∫ u dv = u*v - ∫ v du

Где u = x, dv = dt
du = dx, v = t

Итак, подставляем в формулу интегрирования по частям:

xt - ∫t dx - [-∫x d(sqrt(t^2 - x^2))]
xt - tx + ∫x x/sqrt(t^2 - x^2) dx = 0

xt - tx + ∫x^2/sqrt(t^2 - x^2) dx = 0

Решим полученный интеграл:

∫x^2/sqrt(t^2 - x^2) dx

Для того чтобы решить этот интеграл, проведем замену переменной. Пусть x = tsin(u), dx = tcos(u) du:

∫(tsin(u))^2/sqrt(t^2 - (tsin(u))^2) tcos(u) du
= ∫t^3 sin^2(u) / (t cos(u)) t cos(u) du
= ∫t^2 sin^2(u) du
= t^2 ∫sin^2(u) du
= t^2 (u/2 - sin(u)cos(u)/2 + C)
= t^2 * (u/2 - sin(2u)/4 + C)

Подставляем обратно x и t:

= t^2 (arcsin(x/t)/2 - x sqrt(1 - (x/t)^2)/4 + C)

Теперь можно вернуться к начальному уравнению и подставить найденное значение интеграла.