Для решения данного интеграла используем метод интегрирования по частям.
∫[xdt - (t - sqrt(t^2 - x^2)) dx] = 0
Распишем оба члена интеграла и произведем дифференцирование:
∫x dt - ∫t dx + ∫sqrt(t^2 - x^2) dx = 0
dt = d(t) = dx = d(x) = d(sqrt(t^2 - x^2)) = -x/sqrt(t^2-x^2) dx
Теперь подставляем полученные значения и производим вычисления:
∫x dt - ∫t dx + ∫sqrt(t^2 - x^2) dx = ∫x dt - ∫t dx - ∫x √(t^2 - x^2) dx = 0
Интегрируем по частям, представляя интеграл в виде произведения двух функций:
∫ u dv = u*v - ∫ v du
Где u = x, dv = ddu = dx, v = t
Итак, подставляем в формулу интегрирования по частям:
xt - ∫t dx - [-∫x d(sqrt(t^2 - x^2))xt - tx + ∫x x/sqrt(t^2 - x^2) dx = 0
xt - tx + ∫x^2/sqrt(t^2 - x^2) dx = 0
Решим полученный интеграл:
∫x^2/sqrt(t^2 - x^2) dx
Для того чтобы решить этот интеграл, проведем замену переменной. Пусть x = tsin(u), dx = tcos(u) du:
∫(tsin(u))^2/sqrt(t^2 - (tsin(u))^2) tcos(u) d= ∫t^3 sin^2(u) / (t cos(u)) t cos(u) d= ∫t^2 sin^2(u) d= t^2 ∫sin^2(u) d= t^2 (u/2 - sin(u)cos(u)/2 + C= t^2 * (u/2 - sin(2u)/4 + C)
Подставляем обратно x и t:
= t^2 (arcsin(x/t)/2 - x sqrt(1 - (x/t)^2)/4 + C)
Теперь можно вернуться к начальному уравнению и подставить найденное значение интеграла.
Для решения данного интеграла используем метод интегрирования по частям.
∫[xdt - (t - sqrt(t^2 - x^2)) dx] = 0
Распишем оба члена интеграла и произведем дифференцирование:
∫x dt - ∫t dx + ∫sqrt(t^2 - x^2) dx = 0
dt = d(t) =
dx = d(x) =
d(sqrt(t^2 - x^2)) = -x/sqrt(t^2-x^2) dx
Теперь подставляем полученные значения и производим вычисления:
∫x dt - ∫t dx + ∫sqrt(t^2 - x^2) dx =
∫x dt - ∫t dx - ∫x √(t^2 - x^2) dx = 0
Интегрируем по частям, представляя интеграл в виде произведения двух функций:
∫ u dv = u*v - ∫ v du
Где u = x, dv = d
du = dx, v = t
Итак, подставляем в формулу интегрирования по частям:
xt - ∫t dx - [-∫x d(sqrt(t^2 - x^2))
xt - tx + ∫x x/sqrt(t^2 - x^2) dx = 0
xt - tx + ∫x^2/sqrt(t^2 - x^2) dx = 0
Решим полученный интеграл:
∫x^2/sqrt(t^2 - x^2) dx
Для того чтобы решить этот интеграл, проведем замену переменной. Пусть x = tsin(u), dx = tcos(u) du:
∫(tsin(u))^2/sqrt(t^2 - (tsin(u))^2) tcos(u) d
= ∫t^3 sin^2(u) / (t cos(u)) t cos(u) d
= ∫t^2 sin^2(u) d
= t^2 ∫sin^2(u) d
= t^2 (u/2 - sin(u)cos(u)/2 + C
= t^2 * (u/2 - sin(2u)/4 + C)
Подставляем обратно x и t:
= t^2 (arcsin(x/t)/2 - x sqrt(1 - (x/t)^2)/4 + C)
Теперь можно вернуться к начальному уравнению и подставить найденное значение интеграла.