Найти поток векторного поля Найти поток векторного поля a = 2(z - y)j +(x - z)k через часть поверхности S:z = 4 - 2(x^2 + y^2) вырезанную плоскостью P:z = 2 непосредственно и с помощью формулы Гаусса-Островского (нормаль внешняя к замкнутой поверхности)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем нормаль к поверхности S, вырезанной плоскостью P:z = 2. Нормаль к поверхности S и P будет направлена вдоль оси z и будет иметь координаты (0, 0, -1).

Теперь вычислим поток векторного поля a через часть поверхности S:

Φ = ∬S a * ndS

Подставляем векторное поле a = 2(z - y)j +(x - z)k:

Φ = ∬S (2(z - y)j +(x - z)k) * (0, 0, -1)dS

Так как z под поверхностью P:z = 2, то подставим это значение:

Φ = ∬S (2(2 - y)j + (x - 2)k) * (0, 0, -1)dS

Теперь произведем расчет потока через поверхность S, используя формулу Гаусса-Остроградского:

Φ = ∭V div(adV)

div(a) = ∂(2(z - y))/∂y + ∂(x - z)/∂z = -2 + 1 = -1

С учетом того, что V образована поверхностью S и плоскостью P:

Φ = ∭V (-1)dV = -V

Таким образом, поток векторного поля a через часть поверхности S, вырезанную плоскостью P:z = 2 равен -V, где V - объем, ограниченный поверхностью S и плоскостью P.