В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Оказалось, что CH=AB+AH. Сколько градусов составляет угол BAC, если ∠ABC=78∘?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину сторон треугольника как AB = a, BC = c, AC = b.

Так как CH = AB + AH, то AH = CH - AB = BC - AB = c - a.

Так как треугольник ABC остроугольный, то высота BH является стороной прямоугольного треугольника ABH.

Теперь рассмотрим треугольник AHG, где G - основание перпендикуляра из вершины A к стороне BC.

Так как треугольник ABC остроугольный, то угол ABC острый, а значит, треугольник AHG прямоугольный.

Отсюда следует, что AG = CH = BC = c.

Теперь рассмотрим треугольник ABG.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABG: AG^2 = AB^2 + BG^2.

Так как AG = BC = c и AB = a, то c^2 = a^2 + BG^2, откуда BG = sqrt(c^2 - a^2) = sqrt((BC)^2 - (AB)^2).

Найдем синус угла BAC:

sin(BAC) = sin(ABC - ABG) = sin(78° - sin(ABG) = sin(78°)/(c).

Учитывая, что sin(78°) = cos(12°), получаем sin(BAC) = cos(12°)/(c).

Теперь найдем cos(12°) = sin(78°) = sqrt(1 - sin^2(78°)) = sqrt(1 - cos^2(12°)), откуда cos^2(12°) = 1 - cos^2(12°) => 2cos^2(12°) = 1, cos^2(12°) = 1/2.

Значит cos(12°) = sqrt(1/2).

Итак, sin(BAC) = cos(12°)/(c) = sqrt(1/2)/(c) = 1/(2c).

Таким образом, угол BAC составляет около 26.565°.